Le théorème de Cauchy-Schwarz est un concept mathématique important en algèbre linéaire qui énonce que pour deux vecteurs donnés, le produit scalaire de ces deux vecteurs est toujours inférieur ou égal au produit de leurs normes.
En d'autres termes, pour deux vecteurs x et y, la formule du théorème se présente comme suit :
|x · y| ≤ ||x|| ||y||
où ||x|| et ||y|| représentent les normes de chaque vecteur. Ce théorème est souvent utilisé pour démontrer des égalités ou des inégalités dans diverses branches des mathématiques, en particulier en géométrie et en analyse fonctionnelle.
Le théorème de Cauchy-Schwarz peut également être généralisé pour des espaces de Hilbert, qui sont des espaces de vecteurs abstraits munis d'un produit scalaire interne. En outre, des variantes du théorème existent également pour les produits scalaires non positifs définis.
En somme, le théorème de Cauchy-Schwarz est un outil mathématique puissant et utile pour démontrer une large gamme de résultats concernant des vecteurs et des espaces vectoriels.
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